Funktionen können Definitionslücken haben, also Stellen, an denen sie nicht definiert sind. Bei gebrochenrationalen Funktionen treten diese Lücken auf, wenn der Nenner des Funktionsterms gleich Null ist, da die Division durch Null mathematisch nicht definiert ist.
Arten von Definitionslücken
Wir unterscheiden zwischen hebbaren Definitionslücken und Polstellen. Diese Unterscheidung ist wichtig, da sich das Verhalten der Funktion in der Nähe dieser Nullstellen stark unterscheiden kann.
Hebbare Definitionslücken
Eine hebbare Definitionslücke tritt auf, wenn eine Nullstelle des Nenners gleichzeitig auch eine Nullstelle des Zählers ist und sich diese Nullstelle kürzen ließe. In diesem Fall ist die Definitionslücke unendlich klein und die Funktion macht in der Nähe dieser Lücke keine großen Sprünge. Man sagt auch, sie ist an dieser Stelle "stetig fortsetzbar".
Wenn wir die entsprechende Nullstelle kürzen, ändern wir die Funktion - beziehungsweise erschaffen streng genommen eine neue Funktion. Der entsprechende Funktionsgraph der gekürzten Funktion verläuft dann praktisch genauso, nur dass er eben an der Stelle keine Definitionslücke hat.
Polstellen
Definitionslücken, die sich durch senkrechte Asymptoten auszeichnen, nennen wir Polstellen. Die Funktionswerte der Funktion gehen für x-Werte, die sich der Polstelle immer weiter annähern, gegen "plus unendlich" beziehungsweise "minus unendlich".
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Asymptoten
Eine Asymptote ist eine Kurve (meistens in Form einer Geraden), der sich eine Funktion immer weiter annähert. Senkrechte Asymptoten treten bei einer gebrochenrationalen Funktion immer dann auf, wenn sie Polstellen hat, also "nicht hebbare Definitionslücken".
Waagerechte Asymptoten
Häufig ist die x-Achse eine waagerechte Asymptote. Das ist immer dann der Fall, wenn der Grad der Zählerfunktion kleiner als der Grad der Nennerfunktion ist. Wenn wir x gegen "minus unendlich" laufen lassen, nähert sich der Funktionsgraph der x-Achse von unten. Für x gegen "plus unendlich" nähert er sich von oben.
Es stimmt nicht, dass der Graph die Asymptote definitiv nie berührt beziehungsweise schneidet. Der Funktionsgraph kann die x-Achse schneiden. In den äußeren Bereichen des Funktionsgraphen können wir aber das typische asymptotische Verhalten beobachten. Hier gilt tatsächlich, dass der Graph die x-Achse nicht mehr schneidet, sondern sich immer weiter an sie anschmiegt, ohne sie zu berühren.
Eine waagerechte Asymptote, die NICHT genau auf der x-Achse liegt, haben wir gegeben, wenn der Zählergrad einer gebrochenrationalen Funktion GLEICH ihrem Nennergrad ist. In diesem Fall können wir die Gleichung der entsprechenden Gerade bestimmen, indem wir die Vorfaktoren der beiden Terme mit der höchsten x-Potenz dividieren. Diese Asymptote verläuft dann also parallel zur x-Achse.
Schräge und gekrümmte Asymptoten
Der Grad der Zählerfunktion kann natürlich auch größer sein, als der der Nennerfunktion. In diesem Fall haben wir entweder eine schräge Asymptote (das ist immer DANN so, wenn der Zählergrad genau um eins höher ist als der Nennergrad) oder sogar eine gekrümmte Asymptote (sprich eine Kurve), wenn die Differenz zwischen Zähler- und Nennergrad noch größer ist. Auch diese Asymptoten lassen sich bestimmen, hierzu braucht es dann aber schon die Polynomdivision.
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Zusammenfassung
- Definitionslücken: Stellen, an denen eine Funktion nicht definiert ist.
- Hebbare Definitionslücken: Nullstellen des Nenners, die auch Nullstellen des Zählers sind und sich kürzen lassen.
- Polstellen: Nicht hebbare Definitionslücken, die zu senkrechten Asymptoten führen.
- Asymptoten: Kurven, denen sich eine Funktion immer weiter annähert.
- Senkrechte Asymptoten: Treten bei Polstellen auf.
- Waagerechte Asymptoten: Vorhanden, wenn der Zählergrad kleiner oder gleich dem Nennergrad ist.
- Schräge/gekrümmte Asymptoten: Vorhanden, wenn der Zählergrad größer als der Nennergrad ist.
Beispiele
Beispiel 1
Gegebene Funktion: \(f(x) = \frac{(x+3)(x-5)}{(x-3)(x-1)(x+3)}\)
- Nullstellen des Nenners: \(x_1 = 3\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = -3\)
- \(x = 5\) ist eine Nullstelle des Zählers, aber keine Definitionslücke.
- \(x = -3\) ist eine hebbare Definitionslücke, da es sowohl Nullstelle des Nenners als auch des Zählers ist.
- \(x = 1\) und \(x = 3\) sind Polstellen, da sie nur Nullstellen des Nenners sind.
Beispiel 2
Gegebene Funktion: \(\frac{3x}{(x^2+x)(x-2)^2}\)
Nach dem Ausklammern von \(x\) im Nenner: \(\frac{3x}{x(x+1)(x-2)^2}\)
- \(x = 0\) ist eine hebbare Definitionslücke.
- \(x = -1\) und \(x = 2\) sind Polstellen.
- Der Grad des Zählers ist 1, der Grad des Nenners ist 4. Daher hat die Funktion eine waagerechte Asymptote bei \(y = 0\) (x-Achse).
Beispiel 3
Gegebene Funktion: \(f(x) = \frac{1}{x^2 - 9} = \frac{1}{(x-3)(x+3)}\)
- Nullstellen des Nenners: \(x_1 = -3\) und \(x_2 = +3\)
- Beides sind Polstellen, da es keine Nullstellen des Zählers sind.
- Die Funktion hat senkrechte Asymptoten bei \(x = -3\) und \(x = +3\).
- Der Grad der Zählerfunktion ist kleiner als der Grad der Nennerfunktion. Somit hat die Funktion eine waagerechte Asymptote - nämlich die \(x\)-Achse.
Übersicht über Asymptoten
| Bedingung | Art der Asymptote |
|---|---|
| Zählergrad < Nennergrad | Waagerechte Asymptote (x-Achse) |
| Zählergrad = Nennergrad | Waagerechte Asymptote (y = Vorfaktor Zähler / Vorfaktor Nenner) |
| Zählergrad = Nennergrad + 1 | Schräge Asymptote |
| Zählergrad > Nennergrad + 1 | Gekrümmte Asymptote |
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