Ganzrationale Funktionen, auch Polynomfunktionen genannt, sind Funktionen, deren Funktionsgleichungen Polynome enthalten. Unter einer ganzrationalen Funktion versteht man eine Funktion der Form
f(x)=anxn + an-1xn-1+ an-2xn-2+...+a0x0
mit n ∈ ℕ0. Die Koeffizienten an, an-1, ..., a0 sind reelle Zahlen, wobei an nicht Null sein darf. Der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion ist ein Polynom. Er besteht aus einer Summe von Potenzen der Variablen, multipliziert mit konstanten Vorfaktoren, den Koeffizienten.
Die höchste vorkommende Potenz der Variablen, die in dem Funktionsterm vorkommt, nennt man den Grad der ganzrationalen Funktion. Ist der Grad 3, so heißen sie kubische Funktionen. Ein Beispiel dafür ist die Funktion f(x) = x3-2x+4/7.
In ganzrationalen Funktionen kommen nur Potenzen der Variablen, multipliziert mit Koeffizienten vor. Funktionen mit der Variable unter einer Wurzel oder der Variable im Exponenten sind keine ganzrationalen Funktionen. Auch Funktionsterme mit Brüchen mit Variable im Nenner, die sich nicht kürzen lassen, ergeben keine ganzrationalen Funktionen.
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Um das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen zu untersuchen, reicht es aus, den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten. Das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. Dabei müssen wir den Exponenten und den Koeffizienten, also den Vorfaktor dieses Summanden, untersuchen.
Dabei ist es entscheidend, ob der Exponent der höchsten Potenz gerade oder ungerade ist. Auch das Vorzeichen des Koeffizienten vor der höchsten Potenz ist relevant für das Verhalten im Unendlichen.
Bei ganzrationalen Funktionen reicht es aus, den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten. Um zu bestimmen, wie ein Graph für sehr große oder sehr kleine x-Werte verläuft, können wir testweise sehr große x-Werte, z.B. x=10 000, und sehr kleine x-Werte, z.B.
Setze für die Testeinsetzung für jedes x in der Funktionsgleichung 10 000 bzw. In diesem Beispiel werden die Funktionswerte der Funktion f(x) für x → -∞ und x → ∞ sehr groß.
Die gegebene Funktion liegt jedoch in faktorisierter Form vor, bei der die einzelnen Summanden nicht direkt erkennbar sind: f(x)=-3x ⋅ (x+3) ⋅ (x-5)2 ⋅(3-x). Wir könnten nun alle Klammern ausmultiplizieren, um die Summanden betrachten zu können. Da uns jedoch nur der Summand mit der höchsten Potenz interessiert, ist dies nicht nötig.
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Um die Eigenschaften zu bestimmen, müssen Funktionsterme, die als Produkte oder als Brüche aufgeschrieben sind, aufgelöst werden. Denn nur dann lassen sich der Grad und die Koeffizienten bestimmen.
Der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion ist eine Summe. Jeder Summand besteht aus einer Potenz der Variablen und einem Vorfaktor. Den Vorfaktor, also die Zahl, mit der die Potenz multipliziert wird, nennt man Koeffizient. In jeder einzelnen Potenz steht die Basis unten, der Exponent oben.
Funktion 1: f(x) = x7-2x5+1/3x. Die Exponenten sind die hochgestellten Zahlen 7 im ersten und 5 im zweiten Summanden. Der Koeffizient des zweiten Summanden ist -2, der des dritten Summanden ist 1/3.
Funktion 2: f(x) = 1/2x3 -1x2+5/2. Die Koeffizienten sind die Zahlen vor den Potenzen, zusammen mit den Vorzeichen, also 1/2, {-}1 und 5/2. Die letzte Zahl ist nämlich der Koeffizient der Potenz x0=1.
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